初中數學解題,為什么老是想不到?

生長是基因的傳承和完善的過程,一棵小樹長成大樹,它的內在基因一脈相承,各部分組織渾然一體,不會出現某一樹枝突然與樹干分隔、斷裂。在基因的系統調控下,生物就能正常持續地生存發展,并且是可預知可控制的。但學生在學習中往往會出現知識的孤立和分裂,這就是缺乏“生長基因”導致的。生長的基本要素是基因,不少學生前面學過的知識方法在后面解決問題時“想不到”,就是缺乏一以貫之的“生長基因”,學習只是一種簡單的堆積,缺少持續發展的生命力,這個道理只要想一下一棵大樹與一堆木柴的區別就可以了解。

要讓數學教學具有生長性,就要把數學的基因融入學生的思維之中,那么數學的基因是什么呢?當然是數學的核心素養:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想像、數學運算、數據分析等六個方面。這些核心能力既是改造世界的有力工具,又是理性精神的發展基礎,與人的完善與成長關系莫大。種子的基因決定了它自然而然地生根發芽開花結果,它不會忘了長葉,也不會忘了開花,它也不會感覺長出樹枝或者結出果子很難。學習數學也是這樣,如果理解掌握了數學的內在基因(本質),一切都是水到渠成,順暢自然。數學最重要的本質是抽象,抽象能力有了,數學想不好都難!抽象就是找共性,去異求同,化繁為簡,諸法歸一,數學概念是抽象,數學定理是抽象,數學方法是抽象,數學模型是抽象,數學思想是抽象,總結解題策略是抽象,分析概括題意是抽象,題型歸類是抽象……,在數學教學的整個過程都要貫穿抽象能力的培養和訓練。

例1.如圖,在Rt△ABC中,延長斜邊BC到點D,使DC=1/3BC,連接AC,若tanB=5/3,則tan∠CAD的值為      .

這道題出示之后,大部分學生都能正確地構造圖形加以解決,但仍有少數學生構造出下面的圖形:

然后,左看右看再也做不下去了。

我問:你已經注意到要求角的三角函數值,一般要構造含這個角的直角三角形,你雖然構造出了直角三角形,但是還不好解決,你覺得做不下去的原因是什么呢?

答:不清楚。

問:解題的黃金法則是什么?

若有所悟:條件用足,模型完整,這樣構造還有條件DC=1/3BC不好利用。

問:條件是什么?一般怎么用?

突然醒悟:有比例關系構造相似!

問:相似三角形有哪些常見形式?畫畫看。

學生畫圖構造如下:

問:概括一下上面圖中構造輔助線的方法是什么?

答:過C、D點作平行線,構造“A形”或“X形”相似三角形。

問:為什么要過C、D點作平行線呢?

答:因為有條件BC:CD=3:1,過C、D點作平行線就可以得到包含BCD三點的相似三角形,并能確定其相似比。

問:圖中B、C、D三點的地位是對等的,那么還可以怎樣構造?

答:過B點應該也可以。

嘗試作圖如下,果然成功:

用一句話概括:過比例線段中的一點,分別作圖中其它兩條線段的平行線,構造出“A形”和“X形”相似三角形。

做完再想:這是一個什么樣的問題?我們采取了什么樣的策略方法?

抽象概括:(1)這是一個幾何構造問題,構造圖形要從條件出發,把條件盡可能構造在數學模型中以充分利用;(2)問題中含有比例線段,可以過比例線段的端點作平行線,構造相似三角形,從而產生其它線段關系解決問題。

方法策略的總結就是一種典型的抽象,經過提煉概括,解題的邏輯清晰、思路簡潔,再稍作訓練,解決此類問題便可以輕而易舉,而且可遷移性很強,因為這是建立在對數學內在規律和原理的深刻理解基礎上。

例2.如圖,△ABC是邊長為3√3等邊三角形,點D是邊AD上的一點,AD=2,過點D作DE∥AC交AC于E,將△ADE繞點A逆時針旋轉角α(0°<α<360°),求當△ADE旋轉到DE與AC所在的直線垂直時BD的長.

這道題學生是可以通過嘗試畫出圖形的,但要花一定的時間,且易有遺漏。單純靠直覺或反復嘗試解決問題不符合數學的精神和本質,用計算、推理解決問題才是數學的味道。

為此設計問題:(1)觀察圖形,你能根據條件判斷△ADE旋轉多少度時可以使DE與AC所在直線垂直嗎?

(2)DE與AC的初始位置是什么關系?【顯然是120°】

(3)從120°變成90°只要逆時針旋轉多少度?【計算易知30°】

(4)直線旋轉多少度時與原來位置方向一致?【180°】

(5)由此可判斷存在幾種符合題意的情況?【兩種情況,在30°的基礎上再轉180°得另一種情況】

這幾個問題是對旋轉時角度變化規律的抽象概括,搞清楚這些自然不會出現畫圖困難或分類遺漏的情況,解題的效率大大提高。

例3.【發現】如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,連接EF.

因為AB=AD,所以把△ABE繞A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.因為∠CDA=∠B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共線.

如果              (填一個條件),可得△AEF≌△AGF.

經過進一步研究我們可以發現:當BE,EF,FD滿足             時,∠EAF=45°.

【應用】如圖2,在矩形ABCD中,AB=6,AD=m,點E在邊BC上,且BE=2.

(1)若m=8,點F在邊DC上,且∠EAF=45°(如圖3),求DF的長;

(2)若點F在邊DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范圍。

本題的幾個小題之間是相互聯系的,解決此類問題要講究策略(稱為“移花接木”),策略正確則事半功倍,而策略是抽象性的認識,為思考問題提供方向性指導。如果掌握了“移花接木”策略,就容易想到把后面的問題轉化為前面的模型或遷移前面的思路方法,圖2構造轉化如下:

第(2)問與之一脈相承,構造如下:

抽象能力決定思維高度,越是抽象的認識,指導性越強,適用性越廣。

為什么想不到?因為抽象能力不夠,所站高度不夠,導致缺少思維的策略與方法。

所以無論干什么,既要做具體的事,又要悟抽象的理,沒有理的指導,做事就變成蠻干而低效。

理以事顯,事以理成,理事圓融,方得大道。

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