怎樣學好相反數、絕對值?

1.絕對值

(1)絕對值的定義(幾何意義)

數軸上,表示一個數的 點與 原點的距離,叫做這個數的絕對值.

(2)絕對值的表示方式

數a的絕對值記作|a|.

(3)絕對值的非負性

一個數的絕對值是非負數,記作|a|≥0.

(4)絕對值的代數意義

補充:

絕對值是它本身的數是非負數.

絕對值是它相反數的數是非正數.

2.相反數

(1)相反數的定義

符號不同、絕對值相同的兩個數互為相反數.

(2)相反數的表示方式

這個數的前面添加一個“-”號.

數本身的表示方式

這個數的前面添加一個“+”號.

(3)多重符號的化簡

在不含絕對值形式前提下

若一個正數前面有偶數個“-”,其結果為正,

若一個正數前面有奇數個“-”,其結果為負.

(4)相反數的一些形式

a,b互為相反數←→a+b=0

二、典型例題

(1)0+0型及變式

例1

已知|x-3|+|y-0.5|=0,求x、y的值.

分析:

根據絕對值的非負性,兩個非負數相加,和要為0,只可能是0+0型,因此,兩個絕對值均為0.

解答:

由題意得,

|x-3|=0,|y-0.5|=0

∴x=3,y=0.5

變式

若|a-3|與|3b-6|互為相反數,求a-b的值.

分析:

由兩式互為相反數,得到兩式之和為0,轉化為0+0型.

解答:

由題意得,|a-3|+|3b-6|=0

|a-3|=0,|3b-6|=0

∴a=3,b=2,a-b=1

(2)相反數的應用

例2

若x與3x-4互為相反數,則x=_____.

分析:

由兩式互為相反數,得到兩式之和為0,轉化為關于x的方程.

解答:

由題意得,

x+3x-4=0

4x-4=0

x=1

變式

若|m-2|與-7互為相反數,則m =_____.

分析:

由兩式互為相反數,得到兩式之和為0,|m-2|=7,此時有兩種思路:

一種,可得m-2=±7,

一種,利用絕對值的幾何意義,|m-2|表示數m的點與數2的點之間的距離,距離為7,則數m的點只需將數2的點向左或向右平移7個單位得到.

解答:

由題意得,

|m-2|=7

m-2=±7,

m=9或-5

(3)多解問題

例3

如果兩個有理數的絕對值分別是3和1,求表示這兩個數的點之間的距離.

分析:

對于兩個有理數,我們不妨設為a,b,數a的絕對值為3,則a=±3,同理,b=±1,此時,兩個點的距離,就需要分情況討論,a,b各有2種情況可搭配,總共四種情況.最后別忘了總結.

解答:

設兩個有理數分別為a,b,

由題意得,a=±3, b=±1,

當a=3,b=1時,這兩個數的點之間距離為2.

當a=3,b=-1時,這兩個數的點之間距離為4.

當a=-3,b=1時,這兩個數的點之間距離為4.

當a=-3,b=-1時,這兩個數的點之間距離為2.

綜上,表示這兩個數的點之間的距離為2或4.

例4

已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,求a、b的值.

分析:

由第一個條件,易知a=±5, b=±3,由|a-b|=b-a,可知a-b的絕對值是它的相反數,則a-b是非負數,a-b≤0,a≤b,從而可以分類討論,確定a,b的值.

解答:

由題意得,

a=±5, b=±3

∵|a-b|=b-a,

∴a-b≤0,a≤b,

例5

分析:

由文字語言,我們要學會翻譯為數學符號語言,互為相反數,則和為0,商為-1.互為倒數,則積為1,絕對值是2,m=±2,然后分類討論求值.

解答:

(4)絕對值化簡

例6

|3-π|=_____.

分析:

絕對值化簡,首先要考慮原式的正負性,正數絕對值是本身,負數絕對值是相反數,顯然3-π是負數,絕對值是其相反數.

解答:

|3-π|=π-3

例7

若1<x<5,|x-1|+|x-5|=_____.

分析:

由1<x<5,可得x-1>0,x-5<0,則前者絕對值是其本身,后者是其相反數.

解答:

原式=x-1+5-x=4

例8

若a<b<0,化簡|a-b|-|a|+|b|.

分析:

由a<b,知a-b<0,故其絕對值是其相反數,a,b的絕對值均為其相反數.

解答:

原式=b-a-(-a)+(-b)

=b-a+a-b

=0

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