一元二次方程的實際應用

一、列一元二次方程解應用題的特點

列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展,從列方程解應用題的方法來講,列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的,由于一元一次方程未知數是一次,因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決.如果未知數出現二次,用算術方法就很困難了,正由于未知數是二次的,所以可以用一元二次方程解決有關面積問題,經過兩次增長的平均增長率問題,數學問題中涉及積的一些問題,經營決策問題等等.

二、列一元二次方程解應用題的一般步驟

和列一元一次方程解應用題一樣,列一元二次方程解應用題的一般步也是:  “審、設、列、解、答”.

(1)“審”指讀懂題目、審清題意,明確已知和未知,以及它們之間的數量關系,這一步是解決問題的基礎,可以利用輔助表格幫助理清數量關系

(2)“設”是指設元,設元分直接設元和間接設元,所謂直接設元就是問什么設什么,間接設元雖然所設未知數不是我們所要求的,但由于對列方程有利,因此間接設元也十分重要.恰當靈活設元直接影響著列方程與解方程的難易;

(3)“列”是列方程,這是非常重要的步驟,列方程就是找出題目中的等量關系,再根據這個相等關系列出含有未知數的等式,即方程.找出相等關系列方程是解決問題的關鍵,但是如果第1步('審')理清了數量關系,列方程并不難

(4)“解”就是求出所列方程的解;

(5)'驗'就是檢驗,分兩部分:一是檢驗所得的未知數值是不是方程的解;二是檢驗是否符合實際情況(需格外留心隱含條件),尤其一元二次方程一般有兩個根,檢驗是否都滿足

(6)“答”就是書寫答案,要詳實規范,并注意單位

三、一些常見問題的做題技巧

(1)數與數字的關系

兩位數=(十位數字)×10+個位數字

三位數=(百位數字)×100+(十位數字)×10+個位數字

(2)'翻一番'

'翻一番'即表示為原量的2倍,'翻兩番'即表示為原量的4倍.

(3)平均增長率問題

n次增長/下降,且增長率相等的問題的基本等量關系式為:

(4)商品銷售問題

與一元二次方程相關的商品銷售問題,一般會直接或間接給出一個一次函數關系,我們往往會把這個當作'突破口'

四、列方程解應用題的關鍵點

很多老師在講解列方程解決實際問題時,把找等量關系作為重點,但是通過Leo老師與孩子的深入接觸,發現如果把找等量關系作為重點,反而使其成為難點。Leo老師認為應該把列方程解應用題的關鍵點在于理清數量關系上,因為只要把各數量之間的關系理清楚了,等量關系就'手到擒來'了,常采用的輔助工具有:輔助表格,線段圖,尤其輔助表格最為常用,而線段圖常用于解決行程和工程問題

五、常見類型

【類型一】商品銷售問題

基本工具:

①售價—進價=利潤

②單件利潤×銷售量=總利潤

③單價×銷售量=銷售額

突破口:找到并會利用題目中的一次函數關系

1、 某商店購進一種商品,進價30元.試銷中發現這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價X(元)滿足關系:P=100-2X,若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤,那么每件商品的售價應定為多少元?每天要售出這種商品多少件?

【分析】一次函數關系直接給出

題目中直接給出了一個一次函數式P=100-2X,于是我們可以設每件商品的售價為x元,則每天的銷售量為(100-2x)件,結合輔助表格分析數量關系:

請注意,這里有個隱含條件:銷售量P≥0,即100-2x≥0,又x≥0,得0≤x≤50,所以一定要檢驗所求得的根是否滿足上述條件

2、某水果批發商場經銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,經市場調查發現,在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克。現該商品要保證每天盈利6000元,同時又要使顧客得到實惠,那么每千克應漲價多少元?

【分析】一次函數關系間接給出

根據'若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克'可找到日銷售量P與漲價錢數X的函數關系,P=500-20X,于是我們設每千克應漲x元,則日銷售量為(500-20x)千克,漲價后每千克盈利(10+x)元,根據'單件利潤×銷售量=總利潤',可列方程:(10+x)(500-20x)=6000①

請注意這里的隱含條件:銷售量P≥0,即500-20x≥0,得x≤25

方程①解得:x=5或x=10

要使顧客得到實惠,所以x=5

【類型二】平均增長率問題

基本工具:

3、青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200公斤,2003年平均每公頃產8450公斤,水稻每公頃產量的年平均增長率為多少?

【分析】

4、某種商品的標價為400元/件,經過兩次降價后的價格為324元/件,并且兩次降價的百分率相同.

(1)求該種商品每次降價的百分率;

(2)若該種商品進價為300元/件,兩次降價共售出此種商品100件,為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元.問第一次降價后至少要售出該種商品多少件?

【分析】

(2)設第一次降價后售出該種商品m件,則第二次降價后售出該種商品(100?m)件

第一次降價后的單件利潤為:

(400×(1?10%)?300=60(元/件);

第二次降價后的單件利潤為:

324?300=24(元/件),

依題意得:60m+24×(100?m)=36m+2400?3210,

解得:m?22.5,

∵m為正整數

∴m?23,

答:第一次降價后至少要售出該種商品2323件.

【類型三】面積問題

判斷清楚要設什么是關鍵

【分析】

【總結】

【方法1】為直接設元,【方法2】為間接設元,雖然間接設元不能直接得到所要求的量,但是由于有時這種設元列方程簡單或計算簡單,所以同學們應多積累,多總結,并靈活掌握。

免責聲明:本文僅代表文章作者的個人觀點,與本站無關。其原創性、真實性以及文中陳述文字和內容未經本站證實,對本文以及其中全部或者部分內容文字的真實性、完整性和原創性本站不作任何保證或承諾,請讀者僅作參考,并自行核實相關內容。

http://www.hqucmw.tw/style/images/nopic.gif
我要收藏
贊一個
踩一下
分享到
?
分享
評論
首頁
四川金7乐奖金设置