一元二次方程解法集錦

一、直接開平方法——平方根

適用于已形成完全平方式的情況

【理論基礎】

正數有兩個平方根,它們互為相反數

0的平方根是0

負數沒有平方根

我們再來看一般情況:

參照上面的結論,我們再來求下面的方程:

二、配方法——"一切為了開方"

對于一元二次方程x2+6x+3=0,我們能否化成x2=p或(x±m)2=p的形式?

觀察發現:對于x2+6x+3=0,左邊有二次項、一次項,我們只需要想辦法利用等式性質,在兩邊加上一個數,使得左邊能配成一個完全平方式即可

移項得,x2+6x=-3

方程兩邊都加上9得,x2+6x+9=-3+9

于是,得到:(x+3)2=6

這樣就轉化成了可以直接開方的形式

而對于一元二次方程2x2-4x-3=0,由于其二次項系數不為1,所以需要處理,即多一個步驟——"系數化為1"

移項得,2x2-4x=3

系數化為1得:x2-2x=3/2

(下同)

【配方法求解的一般步驟】:

①移項,使方程左邊只含有二次項和一次項,右邊為常數項

②將二次項系數化為1;

③方程兩邊都加上一次項系數一半的平方;

④原方程變為(x±m)2=p的形式;

⑤直接開平方,得到兩個一元一次方程

⑥求解

既然配方法可以解決任何一個一元二次方程,那我們就來嘗試一個最一般的:

三、公式法——"兩個用途"

通過上面解一元二次方式的一般式,我們發現如果ax2+bx+c=0,如果有解,那么解出來的根一定是:

這個叫做求根公式

我們發現,任何一個一元二次方程的根只和系數a,b,c有關,也就是說只要確定了系數,就可以得到方程的根,這就是公式法的第一個用途——根據系數直接確定方程的根

另外我們發現:

當b2-4ac>0時,方程有兩個不等實根

當b2-4ac=0時,方程有兩個相等實根

當b2-4ac

我們經常把△=b2-4ac叫做根的判別式,利用它我們可以判別一元二次方程根的個數,這也是公式法的第二個用途。

【公式法法求解的一般步驟】:

①將方程化為一般形式

②確定a,b,c的值

③求出b2-4ac的值

④當b2-4ac≥0時(有根),我們將a,b,c代入

得到方程的兩個根

【注】當b2-4ac=0時,方程的解為:

附例題:

四、因式分解法——最簡單高效的方法

利用因式分解法解一元二次方程的前提,在于熟練掌握因式分解,其中包括提公因式法、公式法、十字相乘法(※)

【例題】

【注】

(1)利用了提公因式法

(2)利用平方差公式

(3)利用了完全平方公式

(4)利用了十字相乘法

對于像x2-2x-3=0這種很容易因式分解的形式我們不再贅述,這里主要介紹相對難分解的情況,比如x2-2x-6=0這種一般一元二次方程大家一般都是采用配方法和公式法來解決,下面Leo老師就對這個方程利用“萬能十字相乘法”

第一步:把一次項系數平均拆分(即除以2)

第二步:將拆分后的數字相乘后,減去常數項

第三步:將第二步結果求平方根,置于上下兩側

第四步:因式分解,求出結果

我們再多看幾個例子:

【補例1】

【補例2】

是不是感覺很簡單那?快找幾道題練練手吧

我們來分析一般的情況:

【總結】

配方法、公式法、因式分解法(結合"萬能十字相乘法"),都是解決一元二次方程的通法。

方法無好壞、優劣之分,只有對知識的熟悉、熟練之分,大家只有多總結,多練習,才能融會貫通,舉一反三。

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