初中數學綜合性難題的解題方法

怎樣破解初中數學綜合性難題?筆者結合教學實踐經驗,總結了一些關于解題的方法與規律,供讀者參考。

一、加法

加法,添加組合多個元素,使單一模型變復合,解決方法:復合問題分解為基本模型。

例1.已知ΔABC與ΔDCE都是等腰直角三角形,BC與CE均為斜邊(BC<CE),B,C,E在同一直線上,過E作EF⊥DE,取EF=AB,連結AF交BE于點M.

(1)求證:AM=MF;

(2)請判斷ΔADF的形狀,并給予證明;

(3)請用等式表示線段AF,BC,CE的數量關系,并說明理由.

本題圖形由兩個等腰直角三角形、兩對全等三角形組合而成,我們從中分解出兩對全等三角形如下:

能夠分析出這些基本圖形后,幾個問題便不難解決。

二、減法

減法,刪減條件關鍵部分,使完整模型變殘缺,解決方法:添補輔助圖形構造完整模型。

例2.如圖,四邊形ABCE中,∠A=∠B=90°,AB=BC=12,∠ECF=45°,若BF=4,則EF的長為           .

本題的原型是等線含半角模型,把圖形補充完整如下圖:

構造輔助線如下圖,在RtΔAEF中即可用勾股定理求得EF長。

三、變法

變法,圖形局部運動變換,使緊密模型變松散,解決方法:運動變換使條件產生聯系。

例3.如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”。

(1)若ΔABC是“準互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,則∠B=      °;

(2)如圖①,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5,若AD是∠BAC的角平分線,不難證明ΔABD是“準互余三角形”。試問在邊BC上是否存在點E(異于點D),使得ΔABE也是“準互余三角形”?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由。

(3)如圖②,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且ΔABC是“準互余三角形”,求對角線AC的長。

問題(2)的解法如下:

問題(3)的圖形實質就是把問題(2)的圖形沿AE翻折而得到的,如下圖:

我們解題時再把圖形翻折回去恢復為(2)中的圖形即可順利解決!

四、動法

動法,位置或數量不確定,使結論有多種情況,解決方法:分類討論通盤考慮各個擊破。

例4.如圖,在平面直角坐標系中,已知ΔAOB是等邊三角形,點A的坐標是(0,4),點B在第一象限,點P是x軸上的一個動點,連接AP,并把ΔAOP繞著點A按逆時針方向旋轉,使邊AO與AB重合,得到ΔABC.

(1)求點B的坐標;

(2)當點P運動到點(t,0)時,試用含t的式子表示點C的坐標;

(3)是否存在點P,使ΔOPC的面積等于√3/4,若存在,請求出符合條件的點P的坐標(直接寫出結果即可).

第(2)問構造圖形如下,得C(2√3+1/2t,2+√3/2t)。

第(3)問中點P在x軸上的運動過程中點C在不同位置時,面積的表示方式不同,因而要根據C點位置分類討論,可以這樣思考:ΔOPC的底邊OP是P點橫坐標的絕對值,OP邊上的高是C點縱坐標的絕對值(C點軌跡是直線BC),按兩個坐標符號可分為:(+,+)、(-,+)、(-,-),然后直接用(2)問結論代入計算:

五、隱法

隱法,線條隱去化為動點,使可見關系變隱藏,解決方法:尋找動點軌跡化為顯性問題。

例5.新定義:直線l1、l、l2,相交于點O,長為m的線段AB在直線l2上,點P是直線l1上一點,點Q是直線l上一點.若∠AQB=2∠APB,則我們稱點P是點Q的伴侶點;

(1)如圖1,直線l2、l的夾角為30°,線段AB在點O右側,且OA=1,m=2,若要使得∠APB=45°且滿足點P是點Q的伴侶點,則OQ=      ;

(2)如圖2,若直線l1、l2的夾角為60°,且m=3,若要使得∠APB=30°,線段AB在直線l2上左右移動.

①當OA的長為多少時,符合條件的伴侶點P有且只有一個?請說明理由;

②是否存在符合條件的伴侶點P有三個的情況?若存在,請直接寫出OA長;若不存在,請說明理由.

本題的真實面目是圓的問題,而圓在題中被隱藏,用符合條件的未知點所代替。解題時需找出符合條件的點所在的軌跡,初中階段一般為圓弧或直線,畫出完整圖形把問題轉化如下:

問題(1)即為:以AB為直徑的圓與直線l交于點Q,求OQ;

問題(2)①即為:以AB為弦的兩弧其中一弧與直線l1相切,另一弧與直線l1相離,顯然分兩種情況;

問題(2)②即為:以AB為弦的兩弧其中一弧與直線l1相切,另一弧與直線l1相交,分兩種情況,如下圖。

有了完整的圖形,再根據切線的性質,OA的長度并不難求。

六、改法

改法,因果交換同類替代,使問題形式變不同,解決方法:總體思路不變局部環節調整。

例6.【發現】如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,連接EF.

因為AB=AD,所以把△ABE繞A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.因為∠CDA=∠B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共線.

如果       (填一個條件),可得△AEF≌△AGF.

經過進一步研究我們可以發現:當BE,EF,FD滿足      時,∠EAF=45°.

【應用】如圖2,在矩形ABCD中,AB=6,AD=m,點E在邊BC上,點F在DC邊上,且BE=2.

(1)若m=8,且∠EAF=45°,求DF的長;

(2)若∠EAF=45°,求m的取值范圍.

本題把等線含半角模型中的半角條件“∠EAF=45°”改為結論,而結論“BE+DF=EF”變為條件,思路與證法一樣。后面的問題進一步把正方形改為矩形,再把矩形的一邊改為未知值。構造下面的圖形求出x的值即可求得DF的長:

第(2)問當C點與E點重合時m最小,當C點與F點重合時m最大。

求最大值構造如下圖:

由相似形得(m-6):(m+6)=2:6,得m=12,所以2≤m≤12。

本題中正方形可以改為一般的四邊形,滿足:AB=AD,∠BAD+∠C=180,∠EAF=1/2∠BAD,則可證結論BE+DF=EF。

也可以把E點運動到BC的延長線上,同法可證BE-DF=EF,如下圖。

七、造法

造法,創造新概念新方法,使問題情境變新穎,解決方法:用所學知識模型轉化新問題。

例7.定義:有三個內角相等的四邊形叫三等角四邊形.

(1)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,求∠A的取值范圍;

(2)如圖,折疊平行四邊形紙片DEBF,使頂點E,F分別落在邊BE,BF上的點A,C處,折痕分別為DG,DH.求證:四邊形ABCD是三等角四邊形;

(3)三等角四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C,若CB=CD=4,則當AD的長為何值時,AB的長最大,其最大值是多少?并求此時對角線AC的長.

題中的新概念“三等角四邊形”還屬于四邊形,第(1)問用四邊形內角和即可解決,設∠A=x,則∠D=360°-3x,0<><><><><><><><>

綜上可得AB的最大值為5,再構造直角三角形可求得AC的長。

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