二次函數基礎知識詳細講解(附例題與答案)

一、什么是二次函數?

【引例】一個正方體的棱長為a,它的表面積為S,于是我們可以得到函數關系式:S=6a2,這里a是自變量,S是a的函數,因為這里自變量的最高次數是2,所以我們把它稱為二次函數

我們可以以圖表的形式把對應關系表示出來(不考慮實際意義):

我們根據列表繪制出它的圖像:

我們發現:

二次函數的圖像是一條拋物線

二、二次函數的圖象研究

剛才我們已經知道二次函數的圖像是一條拋物線,那么這條拋物線有什么特點那?

二次函數的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)

(1)我們先來研究a與拋物線y=ax2+bx+c圖像的聯系

我們發現:

當a>0時,拋物線開口向上;

當a

觀察上面的拋物線我們發現:

當a>0,a越大,開口越小

當a

即|a|越大,開口越小

(2)拋物線與y軸的交點

對于y=ax2+bx+c,令x=0,得y=c,即拋物線與y軸的交點為(0,c)

(3)拋物線與x軸的交點

對于y=ax2+bx+c,令y=0,就轉化成了一元二次方程ax2+bx+c=0

我們知道這個方程根的個數可以用判別式△=b2-4ac來判斷,

①當△>0時,方程有兩個不相等的實根

②當△=0時,方程有兩個相等的實根

③當△

而一元二次方程ax2+bx+c=0的實根個數和拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數是相對應的

①當△>0時,拋物線與x軸有兩個交點

所以,當給出兩個交點時,我們也可以把函數關系式寫成:

我們也把這個關系式叫做交點式

②當△=0時,拋物線與x軸有一個交點

③當△

(4)拋物線的頂點及對稱性

不難發現,拋物線是個軸對稱圖形,那么它的對稱軸是什么那?

我們隨便找一個二次函數y=2x2-4x+1,我們對它進行配方,得到y=2(x-1)2-1

我們利用列表法描點:

根據圖像我們發現:

此函數圖像的對稱軸為x=1

當x

當x>1,即在對稱軸右側時,拋物線呈增強趨勢;

當x=1,即在對稱軸上時,y=-1,

而(1,-1)即為拋物線y=2(x-1)2-1的頂點

下面我們對一般情況進行分析:

對二次函數一般形式y=ax2+bx+c進行配方得:

因此拋物線y=ax2+bx+c的

對稱軸:

頂點坐標:

所以我們也把

稱為頂點式

(5)拋物線的增減性與最值

觀察圖像,我們發現:

①若a>0

②若a

三、二次函數圖象分析常用圖

四、二次函數題型歸納及做題技巧

類型一 ? 二次函數的概念

【知識點】

判斷二次函數解析式的三個特征:

①整式;②a≠0;③化簡后x的最高次數是2

例題1??下列函數中屬于二次函數的是( ?)

A. y = 2x + 1 ? ? ?B. y = (x - 1)2 - x2

C. y = 2x2 ? ? ? ? ? D.

【提示】

根據二次函數解析式三個特征

例題2 ?已知

是y關于x的二次函數,那么m的值為( ? )

A. -2 ? ? B. 2 ? ? C. ±2 ? ? D. 0

【提示】

根據二次函數解析式三個特征

類型二 ? 二次函數的圖像和性質

【知識點】

二次函數y=ax2+bx+c圖像性質

1、根據a判斷開口方向,|a|判斷開口大小

①a>0,開口向上;a

②|a|越大開口越小,

|a|相等,拋物線的開口大小,形狀相同

2、根據c判斷與y軸的交點位置

①c>0,交于y軸正半軸

②c

③c=0,拋物線經過原點

3、根據△判斷交點個數

①△>0,與x軸有2個交點

②△=0,與x軸有1個交點

③△

4、對稱軸

對稱軸是直線x = -b/2a

①b=0時,對稱軸為y軸

②b/a>0(即a、b同號),對稱軸在y軸左側

③b/a

5、根據開口方向和對稱軸判斷增減性

①a>0,對稱軸左側遞減,右側遞增

②a

6、看圖象判定代數式的值或范圍

①判斷a,b,c的符號和取值

根據開口方向及大小,對稱軸在y軸哪側,與y軸交點判斷

②如何得到a±b+c的值或范圍

x取±1時可得出

③如何得到2a±b的值或范圍

比較對稱軸-b/2a與±1的大小關系得出

④如何得到b2-4ac的大小

根據圖象與x軸的交點個數

⑤如何得到a,b,c的關系式

試試經過的點代入

⑥碰到特殊的技巧和規律就積累下來

例題3 ?函數y= - x2 ?+ 1的圖象大致為( ? )

【提示】

根據二次函數的開口方向、對稱軸和y軸的交點可得相關圖象

例題4??關于拋物線y = x2 - 2x +1,下列說法錯誤的是( ?)

A. 開口向上

B. 與x軸有兩個重合的交點

C. 對稱軸是直線x = 1

D. 當x>1時,y隨x的增大而減小

【提示】

根據二次函數的開口方向、對稱軸和y軸的交點可得相關圖像,或直接畫出圖象

例題5?下列圖像中,有一個可能是函數y = ax2 + bx + a + b(a≠0)的圖象,它是()

【提示】

根據y = ax2 + bx + a + b(a≠0),對a,b的正負進行分類討論,把一定錯誤的排除掉即可得到正確選項

例題6??已知函數y = ax2 + bx + a + c,當y > 0時,-1/3

【提示】

根據a,b,c分別對圖象的影響或利用根與系數的關系

例題7 ?如圖,已知二次函數y = ax2 + bx + c(a≠0)的圖像與x軸交于點A(-1,0),與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x = 1.下列結論:

①abc>0 ?②4a+2b+c>0 ?③4ac-b2<8a ④1/3

其中含所有正確結論的選項是()

A. ①③ ? ? B. ①③④ ? ?C. ②④⑤ ? ?D. ①③④⑤

【提示】

根據對稱軸及圖象開口方向向上可判斷出a,b,c的符號,從而判斷①;根據對稱軸得到函數圖象經過(3,0),從而判斷②;根據圖像經過(-1,0)可得到a,b,c之間的關系,從而判斷③⑤;從圖像與y軸的交點B在(0,-2)和(0,-1)之間,從而判斷c的大小,進而判斷④

類型三 ? 利用二次函數的對稱性解題

【知識點】

1、若拋物線上的點,縱坐標相同,它們一定關于對稱軸對稱

如上圖,經過拋物線的A、B兩點的縱坐標都是2,那么它們一定關于對稱軸對稱

2、若拋物線上A、B兩點關于對稱軸對稱,且它們的橫坐標分別為m、n,則對稱軸為x=(m+n)/2

例題8?二次函數y = ax2 + bx +c,自變量x與函數y的對應值如表:

下列說法正確的是()

A. 拋物線開口向下

B. 當x>-3時,y隨x的增大而增大

C. 二次函數的最小值是-2

D. 拋物線的對稱軸是x=-5/2

【提示】

注意表格中給出的y值,有三對相同的數字,而它們都是圖象上點的縱坐標,拋物線上的點,縱坐標相同,它們一定關于對稱軸對稱,再根據二次函數的性質逐項判斷

例題9

【提示】

根據函數解析式的特點,其對稱軸為x=1,圖象開口向下,在對稱軸的右側,y隨x的增大而減小,根據二次函數圖象的對稱性可知,

關于對稱軸對稱,即可判斷

例題10 ??如圖,拋物線y = x2 - bx + c交x軸于點A(1,0),交y軸于點B,對稱軸是x = 2

(1)求拋物線的解析式

(2)點P是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使△PAB的周長最小?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由

【提示】

(1)根據拋物線經過點A(1,0),對稱軸是x=2列出方程組,求出b,c即可;

(2)因為點A與點C關于x=2對稱,根據軸對稱的性質連接BC與x=2交于點P,點P即為所求,求出直線BC與x=2的交點即可

類型四 ? 根據條件確定二次函數的解析式

【知識點】

注:有頂點信息用頂點式,有交點信息用交點式,沒特殊信息用一般式

例題11? ?已知某二次函數的圖象如圖,則這個二次函數的解析式為()

A. y = - 3(x - 1)2 + 3

B.?y = ?3(x - 1)2 + 3

C.?y = - 3(x + 1)2 + 3

D. y = 3(x + 1)2 + 3

【提示】有頂點信息,用頂點式

例題12 ??已知二次函數的圖象經過(-1,-5),(0,-4),(1,1),則這個二次函數的表達式為()

A. y = - 6x2 + 3x + 4

B. y = - 2x2 + 3x - 4

C. y = x2 + 2x - 4

D. y = 2x2 + 3x - 4

【提示】無特殊信息,用一般式

例題13 ??已知二次函數圖象經過(1,0),(2,0),(0,2)三點,則該函數圖象的關系式是_____________________.

【提示】有交點信息,用交點式

類型五 ? 利用二次函數解決實際問題

例題14?? 在一幅長60cm,寬40cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如圖,如果要使整個掛圖的面積是y cm2,設金色紙邊的寬度為x cm,那么y關于x的函數是( ?)

A. y = (60+2x)(40+2x)

B. y = (60+x)(40+x)

C. y = (60+2x)(40+x)

D. y = (60+x)(40+2x)

【提示】掛圖面積 = 長×寬 =(60+2x)(40+2x)

例題15 ??某商店進了一批服裝,每件成本50元,如果按每件60元出售,可銷售800件,如果每件提價5元出售,其銷量將減少100件.

(1)求售價為70元時的銷售量及銷售利潤

(2)求銷售利潤y(元)與售價x(元)之間的函數關系,并求售價為多少元時獲得最大利潤;

(3)如果商店銷售這批服裝想獲利12000元,那么這批服裝的定價是多少元?

【提示】可參考(九年級第5講)一元二次方程的實際應用

【參考答案】

例題1:C

例題2:A

例題3:B

例題4:D

例題5:C

例題6:D

例題7:D

例題8:D

例題9:D

例題10:

(1)解析式為:y=x2- 4x + 3

(2)點P的坐標為(2,1)

例題11:A

例題12:D

例題13:y= x2 - 3x + 2

例題14:A

例題15:

(1)銷售量:600(件),銷售利潤:12000(元)

(2)關系式:y= -20(x-75)2 + 12500

最大利潤:12500元

(3)定價為70元或80元時這批服裝可獲利12000元

免責聲明:本文僅代表文章作者的個人觀點,與本站無關。其原創性、真實性以及文中陳述文字和內容未經本站證實,對本文以及其中全部或者部分內容文字的真實性、完整性和原創性本站不作任何保證或承諾,請讀者僅作參考,并自行核實相關內容。

http://www.hqucmw.tw/style/images/nopic.gif
我要收藏
贊一個
踩一下
分享到
?
分享
評論
首頁
四川金7乐奖金设置